一道初中求三角形内的线段问题

在三角形ABC中， AB=13， BC=14， CA=15， AD垂直于BC， DE垂直于AC，且BD=5， CD=9， F在DE上且有BF垂直AF，求DF的长。

解：三角形ABD是直角三角形，根据勾股定理可以计算出：

AD=12，

在三角形ADC中利用面积公式可以计算出DE的长度

DE·AC =AD·DC, 因此

DEx15=12x9

DE=36/5,

由于∠BDA=∠BFA，所以ABDF四点共圆，

所以∠ABF=ADE，

而∠ADE=∠DCE

因此△ABF相似于△ADE相似于△DCE，所以边成比例：

AF/AB=AE/AD=DE/DC

AF/13=AE/12=(36/5)/9=4/5

解出：

AF=52/5， AE=48/5

在直角三角形AFE中用勾股定理可以解出：

EF=4，

所以DF=DE-EF=36/5-4=16/5