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双曲线abc关系_双曲线的基本知识点

一、双曲线abc关系a代表双曲线顶点到原点的距离(实半轴),b代表双曲线的虚半轴,c代表焦点到原点的距离(半焦距),a,b,c满足关系式a²+b²=c²。双曲线x²/a²-y²/b²=1。一般的,双曲

一、双曲线abc关系

a代表双曲线顶点到原点的距离(实半轴),b代表双曲线的虚半轴,c代表焦点到原点的距离(半焦距),a,b,c满足关系式a²+b²=c²。双曲线x²/a²-y²/b²=1。

一般的,双曲线(希腊语“ὑπερβολή”,字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

二、双曲线的基本知识点

双曲线的定义:

平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

双曲线的标准方程和几何性质:

区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系,在椭圆中a=b+c,而在双曲线中c=a+b,双曲线的离心率e>1;椭圆的离心率e∈(0,1)。

渐近线与离心率:

可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小。

[注意] 当a>b>0时,双曲线的离心率满足1<e<√2;

当a=b>0时,e=√2(亦称为等轴双曲线);

当b>a>0时,e>√2。

双曲线的定义及标准方程:

直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点。

应用双曲线的定义需注意的问题:

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支。

双曲线方程的求法:

(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为mx+ny=1(mn<0)。

(2)与双曲线x/a-y/b=1有共同渐近线的双曲线方程可设为x/a-y/b=λ(λ≠0)。

(3)若已知渐近线方程为mx+ny=0,则双曲线方程可设为mx-ny=λ(λ≠0)。

直线与双曲线的位置关系:

判定直线与双曲线的位置关系时,通常是将直线方程与双曲线方程联立,消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程:ax+bx+c=0(或ay+by+c=0).

若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有:

Δ>0直线与双曲线相交;

Δ=0直线与双曲线相切;

Δ<0直线与双曲线相离.

若a=0且b≠0,则直线与双曲线相交,且有一个交点。

直线与双曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题,解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。

当直线与双曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化。

同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”。

解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程.利用根与系数的关系,整体代入。

与中点有关的问题常用点差法。

注意:根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系。

双曲线有关典型例题分析:

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(√3,0).

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线l:y=kx+√2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA―→,·OB―→,>2(其中O为原点),求k的取值范围.

区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系,在椭圆中a=b+c,而在双曲线中c=a+b,双曲线的离心率e>1;椭圆的离心率e∈(0,1)。

一定要记住根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系。

若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为mx+ny=1(mn<0)。

若已知渐近线方程为mx+ny=0,则双曲线方程可设为mx-ny=λ(λ≠0)。

已知渐近线方程y=mx,求离心率时,若焦点位置不确定时,m=b/a(m>0)或m=a/b,故离心率有两种可能。

解决与双曲线几何性质相关的问题时,要注意数形结合思想的应用。

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